El rango de una función es el conjunto de números que la función puede producir. En otras palabras, es el conjunto de valores de y que obtiene cuando conecta todos los valores de x posibles en la función. Este conjunto de posibles valores de x se denomina dominio. Si desea saber cómo encontrar el rango de una función, simplemente siga estos pasos.
Pasos
Método 1 de 4: encontrar el rango de una función dada una fórmula
Paso 1. Escribe la fórmula
Digamos que la fórmula con la que está trabajando es la siguiente: f (x) = 3x2 + 6x -2. Esto significa que cuando colocas cualquier x en la ecuación, obtendrás el valor de y. Esta es la función de una parábola.
Paso 2. Encuentra el vértice de la función si es cuadrática
Si está trabajando con una línea recta o cualquier función con un polinomio de un número impar, como f (x) = 6x3+ 2x + 7, puede omitir este paso. Pero si está trabajando con una parábola, o cualquier ecuación donde la coordenada x se eleva al cuadrado o se eleva a una potencia par, deberá trazar el vértice. Para hacer esto, simplemente use la fórmula -b / 2a para obtener la coordenada x de la función 3x2 + 6x -2, donde 3 = a, 6 = b y -2 = c. En este caso, -b es -6 y 2a es 6, por lo que la coordenada x es -6/6 o -1.
- Ahora, inserte -1 en la función para obtener la coordenada y. f (-1) = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
- El vértice es (-1, -5). Grafíquelo dibujando un punto donde la coordenada x es -1 y donde la coordenada y es -5. Debe estar en el tercer cuadrante del gráfico.
Paso 3. Encuentra algunos otros puntos en la función
Para tener una idea de la función, debe insertar algunas otras coordenadas x para que pueda tener una idea de cómo se ve la función antes de comenzar a buscar el rango. Como es una parábola y la x2 la coordenada es positiva, estará apuntando hacia arriba. Pero solo para cubrir sus bases, conectemos algunas coordenadas x para ver qué coordenadas y producen:
- f (-2) = 3 (-2)2 + 6 (-2) -2 = -2. Un punto en el gráfico es (-2, -2)
- f (0) = 3 (0)2 + 6 (0) -2 = -2. Otro punto del gráfico es (0, -2)
- f (1) = 3 (1)2 + 6 (1) -2 = 7. Un tercer punto en la gráfica es (1, 7).
Paso 4. Encuentra el rango en la gráfica
Ahora, observe las coordenadas y en el gráfico y encuentre el punto más bajo en el que el gráfico toca una coordenada y. En este caso, la coordenada y más baja está en el vértice, -5, y la gráfica se extiende infinitamente por encima de este punto. Esto significa que el rango de la función es y = todos los números reales ≥ -5.
Método 2 de 4: encontrar el rango de una función en un gráfico
Paso 1. Encuentra el mínimo de la función
Busque la coordenada y más baja de la función. Digamos que la función alcanza su punto más bajo en -3. Esta función también podría hacerse cada vez más pequeña infinitamente, de modo que no tenga un punto más bajo establecido, solo el infinito.
Paso 2. Encuentra el máximo de la función
Digamos que la coordenada y más alta que alcanza la función es 10. Esta función también podría hacerse más y más grande infinitamente, por lo que no tiene un punto más alto establecido, solo infinito.
Paso 3. Indique el rango
Esto significa que el rango de la función, o el rango de las coordenadas y, varía de -3 a 10. Entonces, -3 ≤ f (x) ≤ 10. Ese es el rango de la función.
- Pero digamos que la gráfica alcanza su punto más bajo en y = -3, pero va hacia arriba para siempre. Entonces el rango es f (x) ≥ -3 y eso es todo.
- Digamos que el gráfico alcanza su punto más alto en 10 pero desciende eternamente. Entonces el rango es f (x) ≤ 10.
Método 3 de 4: encontrar el rango de una función de una relación
Paso 1. Escriba la relación
Una relación es un conjunto de pares ordenados con coordenadas xey. Puede observar una relación y determinar su dominio y rango. Digamos que está trabajando con la siguiente relación: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}.
Paso 2. Enumere las coordenadas y de la relación
Para encontrar el rango de la relación, simplemente escriba todas las coordenadas y de cada par ordenado: {-3, 6, -1, 6, 3}.
Paso 3. Elimine las coordenadas duplicadas para que solo tenga una de cada coordenada y
Notará que ha enumerado "6" dos veces. Sácalo para que te quedes con {-3, -1, 6, 3}.
Paso 4. Escribe el rango de la relación en orden ascendente
Ahora, reordene los números en el conjunto para que se mueva del más pequeño al más grande, y tenga su rango. El rango de la relación {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} es {-3, -1, 3, 6}. Todo ha terminado.
Paso 5. Asegúrese de que la relación sea una función
Para que una relación sea una función, cada vez que pones un número de una coordenada x, la coordenada y tiene que ser la misma. Por ejemplo, la relación {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} no es una función, porque cuando pones 2 como una x la primera vez, obtienes un 3, pero la segunda vez pon un 2, tienes un cuatro. Para que una relación sea una función, si coloca la misma entrada, siempre debe obtener la misma salida. Si pones un -7, deberías obtener la misma coordenada y (cualquiera que sea) cada vez.
Método 4 de 4: Encontrar el rango de una función en un problema verbal
Paso 1. Lea el problema
Supongamos que está trabajando con el siguiente problema: "Becky está vendiendo entradas para el concurso de talentos de su escuela por 5 dólares cada una. La cantidad de dinero que recauda es una función de la cantidad de entradas que vende. ¿Cuál es el rango de la función?"
Paso 2. Escribe el problema como una función
En este caso, M representa la cantidad de dinero que recauda y t representa la cantidad de boletos que vende. Sin embargo, dado que cada boleto costará 5 dólares, tendrá que multiplicar la cantidad de boletos vendidos por 5 para encontrar la cantidad de dinero. Por lo tanto, la función se puede escribir como M (t) = 5t.
Por ejemplo, si vende 2 boletos, tendrá que multiplicar 2 por 5 para obtener 10, la cantidad de dólares que obtendrá
Paso 3. Determine el dominio
Para determinar el rango, primero debe encontrar el dominio. El dominio son todos los valores posibles de t que funcionan en la ecuación. En este caso, Becky puede vender 0 o más entradas; no puede vender entradas negativas. Dado que no sabemos el número de asientos en el auditorio de su escuela, podemos asumir que, en teoría, puede vender un número infinito de boletos. Y solo puede vender entradas enteras; ella no puede vender la mitad de un boleto, por ejemplo. Por lo tanto, el dominio de la función es t = cualquier número entero no negativo.
Paso 4. Determine el rango
El rango es la posible cantidad de dinero que Becky puede ganar con su venta. Tienes que trabajar con el dominio para encontrar el rango. Si sabe que el dominio es un número entero no negativo y que la fórmula es M (t) = 5t, entonces sabrá que puede conectar cualquier número entero no negativo en esta función para obtener la salida o el rango. Por ejemplo, si vende 5 boletos, entonces M (5) = 5 x 5, o 25 dólares. Si vende 100, entonces M (100) = 5 x 100, o 500 dólares. Por lo tanto, el rango de la función es cualquier número entero no negativo que sea múltiplo de cinco.
Eso significa que cualquier entero no negativo que sea múltiplo de cinco es una salida posible para la entrada de la función
Video: al utilizar este servicio, es posible que cierta información se comparta con YouTube
Consejos
- Para casos más difíciles, puede ser más fácil dibujar el gráfico primero usando el dominio (si es posible) y luego determinar el rango gráficamente.
- Vea si puede encontrar la función inversa. El dominio de la función inversa de una función es igual al rango de esa función.
- Verifique si la función se repite. Cualquier función que se repita a lo largo del eje x tendrá el mismo rango para toda la función. Por ejemplo, f (x) = sin (x) tiene un rango entre -1 y 1.